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Resolviendo sistemas lineales-cuadráticos

Quizás Usted probablemente ha resuelto sistemas de ecuaciones lineales . Pero que pasa con un sistema de dos ecuaciones donde una ecuación es lineal, y la otra es cuadrática?

Podemos usar una versión del método de sustitución para resolver sistemas de este tipo.

Recuerde que la forma intercepción-pendiente de la ecuación para una recta es , y la forma estándar de la ecuación para una parábola con un eje de simetría vertical es .

Para evitar la confusión con las variables, escribamos la ecuación lineal como  donde m es la pendiente y d es la intercepción en y de la recta.

Sustituya la expresión para y de la ecuación lineal, en la ecuación cuadrática. Esto es, sustituya  por y en .

Ahora, reescriba la nueva ecuación cuadrática en la forma estándar.
Reste  en ambos lados.

Ahora tenemos una ecuación cuadrática con una variable, la solución de la cual podemos encontrarla usando la fórmula cuadrática .

Las soluciones a la ecuación   nos dará las coordenadas en x de los puntos de intersección de las gráficas de la recta y la parábola. Las coordenadas correspondientes de y pueden encontrarse usando la ecuación lineal.

Otra forma de resolver el sistema es graficar las dos funciones en el mismo plano coordenado e identificar los puntos de intersección.

Ejemplo 1:

Encuentre los puntos de intersección entre la recta  y la parábola .

Sustituya  por y en .

Escriba la ecuación cuadrática en la forma estándar.

Use la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática.

Aquí, , y .

Sustituya los valores de x en la ecuacón lineal para encontrar los valores correspondientes de y .


Por lo tanto, los puntos de intersección son  y .

Grafique la parábola y la línea recta en un plano coordenado.


Un método similar puede ser usado para encontrar los puntos de intersección de un recta y un círculo...

Ejemplo 2:

Encuentre los puntos de intersección entre la recta  y el círculo .

Sustituya  por y en .

Simplifique.


Realice las raíces cuadradas, .

Sustituya los valores de x en la ecuación lineal para encontrar los valores correspondientes de y .

Por lo tanto, los puntos de intersección son  y .

Grafique el círculo y la línea recta en un plano coordenado.


...o una recta y una elipse.

Ejemplo 3:

Resuelva el sistema de ecuaciones  y .

Sustituya  por y en .

Simplifique.

Aquí tenemos un número negativo como el cuadrado de un número. Así, las dos ecuaciones no tienen soluciones reales.

Grafique la elipse y la línea recta en un plano coordenado.

Podemos ver que las dos no se intersectan.