Numbers, Prices & Quantities - Ukrainian

1. Валютний курс: 1 євро = 42 гривні. Обмінний пункт видає лише цілі купюри євро (залишок гривень не повертається). Турист обміняв 3 000 гривень на євро, а потім витратив 45 євро та обміняв залишок назад на гривні за тим самим курсом. Скільки гривень він отримав назад?
   Answer: 1 092 гривень, оскільки обмінний пункт видає лише цілі купюри: 3 000 ÷ 42 = 71 євро (округлення вниз); після витрати 45 євро залишається 26 євро; 26 × 42 = 1 092 гривні Коли задача містить умову про цілі купюри, це ключове обмеження, яке змінює весь розрахунок. Обмінний пункт не округлює до найближчого цілого — він завжди округлює вниз, а решта гривень просто губиться. Розберемо правильний розв'язок (відповідь D). Спочатку турист обмінює 3 000 гривень: $3000 \div 42 = 71{,}43 \text{ євро}$ Оскільки видаються лише цілі купюри, він отримує 71 євро (0,43 євро — це 18 гривень, які не повертаються). Після витрати 45 євро залишається: $71 - 45 = 26 \text{ євро}$ Зворотний обмін за тим самим курсом: $26 \times 42 = 1092 \text{ гривні}$ Тепер розглянемо, чому інші варіанти хибні. Відповідь A припускає, що обмінний пункт видав 71,43 євро — тобто дробову суму, що суперечить умові задачі. Саме в цьому типова пастка: ігнорування обмеження на цілі купюри. Відповідь B правильно округлює євро до 71, але потім використовує вигаданий курс 43,5 грн/євро при зворотному обміні, тоді як умова чітко вказує на той самий курс. Відповідь C також правильно рахує 26 євро залишку, але застосовує довільний курс 45 грн/євро, якого в задачі немає. Стратегія: у задачах на обмін валют завжди виділяйте всі умови-обмеження (цілі купюри, фіксований курс, відсутність решти) перед тим, як починати рахувати. Саме ці деталі перетворюють просту задачу на справжню пастку.
2. У певному місяці (4 повних тижні) працівник відпрацював 3 тижні по 40 годин і 1 тиждень — 52 години. Яка його зарплата за цей місяць?
   Answer: 20 025 гривень, оскільки погодинна ставка 18 000 ÷ 160 = 112,50 грн, понаднормові 12 год × 1,5 × 112,50 = 2 025 грн, загалом 18 000 + 2 025 = 20 025 грн Коли ви бачите задачу на розрахунок зарплати з понаднормовими, перший крок — знайти погодинну ставку, а потім окремо порахувати доплату за понаднормові години. Базова місячна зарплата — 18 000 грн за 160 годин (4 тижні × 40 год). Погодинна ставка: $\frac{18\,000}{160} = 112{,}50 \text{ грн/год}$ У цьому місяці працівник відпрацював один тиждень по 52 години — тобто 12 понаднормових годин (52 − 40 = 12). За умовою, понаднормові оплачуються з коефіцієнтом 1,5: $12 \times 1{,}5 \times 112{,}50 = 2\,025 \text{ грн}$ Загальна зарплата: $18\,000 + 2\,025 = \mathbf{20\,025}$ грн — це відповідь B, яка правильна. Відповідь A містить помилку: вона безпідставно «перераховує» базову ставку пропорційно відпрацьованим годинам, хоча працівник відпрацював повний місяць (160 звичайних годин + понаднормові), тому базова зарплата залишається 18 000 грн без змін. Відповідь C правильно знаходить 12 понаднормових годин, але фактично ділить доплату на дві частини штучно — результат 1 350 + 450 = 1 800 грн. Це математично те саме, що 12 × 150 грн, тобто коефіцієнт 1,33, а не 1,5. Помилка в застосуванні коефіцієнта. Відповідь D плутає ставку: у задачі чітко вказано коефіцієнт 1,5, а не подвійна оплата (×2). Використання ×2 — типова помилка, коли студент не уважно читає умови оголошення. Порада: завжди підкреслюйте в умові точний коефіцієнт оплати понаднормових — саме там криється найпоширеніша пастка в таких задачах.
3. Скільки гривень заплатить покупець за дві куртки з урахуванням усіх знижок?
   Answer: 1 836 гривень — після застосування спочатку 15%, а потім 10% до загальної суми двох курток за знижковою ціною Коли ви бачите задачу з послідовними знижками, ключове правило таке: кожна наступна знижка застосовується не до початкової ціни, а до вже зниженої. Це принципово інша математика, ніж просте складання відсотків. Розберімо правильний розв'язок (варіант A). Спочатку знаходимо ціну однієї куртки після знижки 15%: $1200 \times (1 - 0{,}15) = 1200 \times 0{,}85 = 1020 \text{ грн}$ Дві куртки за цією ціною: $1020 \times 2 = 2040 \text{ грн}$ Тепер застосовуємо додаткову знижку 10% до вже зниженої суми: $2040 \times (1 - 0{,}10) = 2040 \times 0{,}90 = 1836 \text{ грн}$ Саме варіант A відображає цей правильний двоетапний розрахунок. Варіант B помилковий, бо складає обидві знижки в одну: 15% + 10% = 25%. Але послідовні знижки не додаються — загальна реальна знижка завжди менша за суму відсотків. Варіант C — поширена пастка: покупець «забуває» про другу знижку й зупиняється на проміжному результаті 2040 грн. Варіант D перевертає порядок застосування знижок — спочатку 10%, потім 15% — що суперечить умові задачі й дає хибний результат. Практична порада: на іспиті, побачивши кілька знижок, завжди застосовуйте їх послідовно та окремо, записуючи проміжний результат після кожного кроку. Пам'ятайте: 15% + 10% ≠ 25% знижки від початкової ціни.
4. Скільки гривень має заплатити кожна людина, якщо рахунок ділиться порівну між усіма п'ятьма?
   Answer: 121 гривня, оскільки загальна сума 3×65 + 2×45 + 4×80 = 195 + 90 + 320 = 605 грн, поділена на 5 осіб Коли ви бачите задачу на розрахунок рахунку в кафе, дійте покроково: спочатку порахуйте загальну суму, потім діліть на кількість людей. Головна пастка — арифметичні помилки на першому етапі. Правильний розрахунок виглядає так: 3 кави по 65 грн, 2 чаї по 45 грн і 4 тістечка по 80 грн. Отже: $3 \times 65 + 2 \times 45 + 4 \times 80 = 195 + 90 + 320 = 605 \text{ грн}$ Ділимо на 5 осіб: $605 \div 5 = 121 \text{ грн}$. Це і є відповідь C. Розгляньмо, де помиляються інші варіанти. Варіант A використовує правильні ціни, але враховує лише 3 тістечка замість 4, тому сума занижена: $3 \times 65 + 2 \times 45 + 3 \times 80 = 515$ грн, а не 605. Це класична помилка — неуважно прочитати кількість замовлених позицій. Варіант B використовує правильну кількість тістечок, але занижує ціну кави до 55 грн замість 65, що дає хибну суму 485 грн. Варіант D також бере правильну кількість, проте знижує ціну тістечка до 70 грн замість 80, отримуючи 555 грн — і знову помилка в ціні. Зверніть увагу: всі неправильні варіанти навмисно змінюють або одну ціну, або одну кількість. Тому порада проста — перед тим як ділити, обов'язково перевірте кожне множення окремо, звіряючись із умовою задачі. Запишіть проміжні результати, щоб не плутатися.
5. Кухар хоче приготувати 7 порцій. Яку кількість молока (в мілілітрах) він має використати?
   Answer: 437,5 мл молока, оскільки 250 мл ÷ 4 × 7 дає пропорційну кількість для семи порцій Коли бачите задачу на зміну кількості порцій у рецепті, одразу думайте про пряму пропорцію: якщо кількість порцій зростає, усі інгредієнти зростають рівномірно. Формула проста: знайдіть кількість на одну порцію, потім помножте на потрібну кількість. Почнемо з перетворення одиниць: 0,25 л = 250 мл. Тепер застосуємо пропорцію для 7 порцій: $\frac{250 \text{ мл}}{4 \text{ порції}} \times 7 = 62{,}5 \times 7 = 437{,}5 \text{ мл}$ Саме так і працює відповідь A — це єдиний варіант, що правильно ділить базову кількість на кількість порцій у рецепті й множить на потрібну кількість. Відповідь B хибна, бо там стверджується, що на порцію припадає 60 мл, — це арифметична помилка (250 ÷ 4 = 62,5, а не 60), тому результат 420 мл є неправильним. Відповідь C є пасткою «округлення для зручності» — у математичних задачах не можна довільно округляти проміжні значення лише тому, що так «зручніше»; 450 мл не відповідає жодному реальному розрахунку. Відповідь D містить грубу помилку конвертації: 0,25 л — це 250 мл, а не 50 мл. Через цю помилку всі подальші розрахунки стають хибними. Порада: На іспитах завжди спочатку переводьте одиниці (літри → мілілітри), а потім виконуйте пропорцію. Помилки у конвертації — найпоширеніша пастка в таких задачах.
6. Контейнер місткістю 2,5 літра наповнюється зі швидкістю 0,4 літра за хвилину. Через 3 хвилини після початку наповнення починає витікати вода зі швидкістю 0,1 літра за хвилину. Через скільки хвилин від початку контейнер буде повністю заповнений?
   Answer: Через 7 хвилин 20 секунд від початку, оскільки за 3 хв набирається 1,2 л, далі з чистою швидкістю 0,3 л/хв залишок 1,3 л заповнюється за 4 хв 20 сек, разом 7 хв 20 сек Коли задача має два різні темпи, що діють у різні проміжки часу, її потрібно розбивати на фази — не можна використовувати одну середню швидкість для всього часу. Фаза 1 (перші 3 хвилини): вода лише надходить зі швидкістю 0,4 л/хв, витікання ще немає. За 3 хвилини накопичується: $0{,}4 \times 3 = 1{,}2 \text{ л}$ Фаза 2 (після 3-ї хвилини): одночасно надходить 0,4 л/хв і витікає 0,1 л/хв, тому чиста швидкість наповнення: $0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3 \text{ л/хв}$ Залишок до повного заповнення: $2{,}5 - 1{,}2 = 1{,}3$ л. Час другої фази: $1{,}3 \div 0{,}3 = 4\tfrac{1}{3} \text{ хв} = 4 \text{ хв } 20 \text{ сек}$ Загальний час від початку: $3 + 4\tfrac{1}{3} = 7\tfrac{1}{3}$ хв = 7 хвилин 20 секунд — це відповідь C. Варіант B помилково ділить весь об'єм (2,5 л) лише на початкову швидкість 0,4 л/хв, ігноруючи те, що після 3-ї хвилини умови змінюються. Варіант A правильно обраховує фази, але потім безпідставно округлює час до «цілих хвилин», отримуючи неіснуючі 9 хвилин. Варіант D правильно знаходить 4 хв 20 сек, але округлює до цілого числа без жодної логічної підстави, що дає хибні 8 хвилин. Порада: у задачах з кількома фазами завжди фіксуйте, скільки об'єму залишилось після зміни умов, і застосовуйте нову швидкість лише до залишку.
7. У магазині ціна товару зросла на 20%, а потім знизилась на 20%. Початкова ціна товару становила 500 гривень. Яка ціна товару після обох змін?
   Answer: 480 гривень, оскільки 20% від 500 грн = 100 грн, після підвищення 600 грн, потім 20% від 600 грн = 120 грн, тому 600 − 120 = 480 грн Коли задача містить послідовні відсоткові зміни, головне правило — кожна зміна застосовується до нової (поточної) ціни, а не до початкової. Це класична пастка, яка збиває з пантелику навіть підготовлених учнів. Розглянемо правильний шлях. Початкова ціна — 500 грн. Спочатку ціна зросла на 20%: $500 \times 1{,}20 = 600 \text{ грн}$ Потім ціна знизилась на 20% від нової ціни 600 грн: $600 \times 0{,}80 = 480 \text{ грн}$ Отже, правильна відповідь — B: 480 гривень. Тепер розберемо помилкові варіанти. Варіант A — найпоширеніша помилка: студенти думають, що «+20% і −20% скасовують одне одного». Але 20% від 600 — це більша сума, ніж 20% від 500, тому результат не повертається до початку. Варіант C припускає, що зниження рахується від початкової ціни 500 грн, а не від підвищеної — це неправильне змішування баз обчислення. Варіант D містить арифметичні помилки в розрахунку сукупних змін і не відповідає жодній коректній логіці. Запам'ятайте просте правило: послідовні відсотки множаться, а не додаються. Загальний коефіцієнт змін тут — $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$, тобто фінальна ціна завжди буде на 4% менше початкової при таких умовах. Використовуйте цей прийом на іспиті, щоб швидко перевірити відповідь.
8. На скільки гривень менше заплатить покупець завдяки акції порівняно з повною ціною всіх трьох товарів?
   Answer: 380 гривень, оскільки безкоштовним стає найдешевший із трьох товарів — той, що коштує 380 гривень Коли ви бачите задачу з акцією типу «купи 3 — заплати за 2», перш за все чітко визначте, який саме товар стає безкоштовним. Умова акції тут прозора: безкоштовним стає найдешевший товар. Серед трьох цін — 450 грн, 380 грн та 510 грн — найменша становить 380 гривень. Саме ця сума і є знижкою, тобто покупець заплатить на 380 грн менше, ніж повна вартість усіх трьох товарів. Відповідь D правильна. Тепер розберемо пастки в інших варіантах. Варіант A пропонує взяти середнє арифметичне трьох цін: $\frac{450 + 380 + 510}{3} = 446{,}7 \approx 440$ грн — але акція не передбачає жодного «середнього» розрахунку; знижка завжди фіксована й дорівнює ціні конкретного товару. Варіант B стверджує, що безкоштовним стає товар середньої вартості (450 грн) — це пряме перекручення умови акції, яка чітко вказує на найдешевший товар. Варіант C припускає, що покупець отримує безкоштовно найдорожчий товар (510 грн) — таку акцію магазини майже ніколи не проводять саме тому, що це максимально невигідно для продавця; умова задачі протилежна. Порада: На іспиті завжди підкреслюйте ключові слова в умові — тут це «найдешевший». Якщо ви прочитали умову уважно, варіанти B і C відпадають миттєво, а варіант A вимагає додаткових обчислень, яких умова не передбачає.

Start this quiz