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Representando sistemas de ecuaciones lineales usando matrices

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en la forma matriz usando una matriz de coeficientes, una matriz de variables, y una matriz de constantes.

Considere el sistema,

.

La matriz de coeficientes puede formarse al alinear los coeficientes de las variables de cada ecuación en una fila. Asegúrese de que cada ecuación este escrita en la forma estándar con el término constante en la derecha.

Entonces, la matriz de coeficientes para el sistema anterior es

.

Las variables que tenemos son x y y . Así podemos escribir la matriz de variables como .

En el lado derecho de la igualdad tenemos los términos constantes de las ecuaciones, 8 y . Los dos números en ese orden corresponden a la primera y segunda ecuaciones, y por lo tanto toman los lugares en la pimera y segunda filas en la matriz de constantes. Así, la matriz se convierte en .

Ahora, el sistema puede represertarse como .

Usando la multiplicación de matrices puede ver que la representación de matriz es equivalente al sistema de ecuaciones.

Esto es, .

Igualando las entradas correspondientes de las dos matrices obtenemos:

Ahora debemos entender que significa esta representación.

Si Usted considera esto como una función del vector , puede definirse como

Luego, resolviendo el sistema lo que estamos encontrando es un vector para el cual .

Con esta representación se pueden hacer cálculos sencillos, si encontramos la inversa de la matriz de coeficientes, el vector de entrada puede calcularse al multiplicar ambos lados por la matriz inversa.

En una forma similar, para un sistema de tres ecuaciones con tres variables,

La representación de matriz sería .

Podemos generalizar el resultado para n variables.