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Polinomios con raíces complejas

El teorema fundamental del Álgebra nos asegura que cualquier polinomio con coeficientes de número real puede factorizarse completamente sobre el campo de los números complejos .

En el caso de los polinomios cuadráticos , las raíces son complejas cuando el discriminante es negativo.

Ejemplo 1:

Factorice completamente, usando números complejos.

Primero, factorice una x .

Ahora use la fórmula cuadrática para la expresión dentro del paréntesis, para encontrar los valores de x para los cuales .

Aquí a = 1, b = 10 y c =169.

Escriba la raíz cuadrada usando números imaginarios.

Ahora sabemos que los valores de x para los cuales la expresión

es igual a 0 son .

Así, el polinomio original puede factorizarse como

Puede verificar esto usando el FOIL .

Algunas veces, puede factorizar un polinomio usando números complejos sin usar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, la regla de la diferencia de cuadrados :

Esto también puede ser usado con números complejos cuando es negativa, como sigue:

Ejemplo 2 :

Factorice completamente, usando números complejos.

Primero, factorice .

Ahora, use la regla de la diferencia de cuadrados para factorizar .

Por lo tanto, .