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Triángulo de Pascal (Zhu Shijie)

El triángulo de Pascal es un arreglo triangular especial de números usados en muchas áreas de las matemáticas. Fue llamado así por el famoso matemático francés del siglo 17 Blaise Pascal porque el desarrollo muchas de las propiedades del triángulo. Sin embargo, este arreglo triangular de números fue conocido por el poeta y matemático árabe Omar Khayyam (c 1044-1123) y el matemático chino Zhu Shijie (c 1260-1320) alrededor de 250 años antes que Pascal.

En la parte superior del triángulo está un 1, que hace el renglón 0 th . El 1 er renglón (1, 1) contiene dos 1s cada uno formado por la suma de los dos números arriba de ellos, uno a la izquierda y uno a la derecha, en este caso 0 y 1. (Todos los números fuera del triángulo son 0s.) Haga lo mismo para crear el 2 do renglón; 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 0 = 1 y todos los renglones subsecuentes.

     Un número en en triángulo puede ser encontrado usando n C r ( n combinación de r ), donde n es el número de renglones y r es el número de los elementos en ese renglón.    Esto es especialmente útil para encontrar un término particular en el desarrollo de un binomio de la forma ( x + y ) n .

Ejemplo:

Encuentre el 4 to término en el 6 to renglón del triángulo.

 

(Recuerde: el primer 1 en cada renglón es el elemento 0 th así esto es correcto.)

Suma de renglones:  La suma de los números en cualquier renglón es igual a 2 n , donde n es el número del renglón.

     2 0 = 1 = 1
     2 1 = 2 = 1 + 1
     2 2 = 4 = 1 + 2 + 1
     2 3 = 8 = 1 + 3 + 3 + 1
     2 4 = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1, etcétera.



Números primos: Si el primer elemento en un renglón es un número primo (recuerde que el primer 1 en cualquier renglón es el elemento 0 th .) todos los números en ese renglón (excluyendo los 1s) son divisible entre el.

     Por ejemplo en el renglón 7 mo (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 son divisibles entre 7.

En Algebra, cada renglón en el triángulo de Pascal contiene los coeficientes del binomio ( x + y ) elevado a la potencia del renglón.

     ( x + y ) 0 = 1

     ( x + y ) 1 = 1 x + 1 y

     ( x + y ) 2 = 1 x 2 + 2 xy + 1 y 2

     ( x + y ) 3 = 1 x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + 1 y 2    

     ( x + y ) 4 = 1 x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + 1 y 4 , etcétera.

Otra área mayor donde el triángulo de Pascal se muestra y es muy útil, es en probabilidad donde puede ser usado para encontrar combinaciones .

Patrones de números interesantes:

     Muchos patrones de números interesantes pueden ser encontrados en el triángulo. Incluidos están la secuencia Fibonacci , los números triangulares y cuadrados (encontrados en las diagonales iniciando en el renglón 3.) y los números poligonales.

     Otra conexión interesante es con el triángulo Sierpinski. Cuando todos los números impares en el triángulo de Pascal son colocados y los pares se dejan en blanco, el triángulo recursivo Sierpinski fractal es revelado.

     Cada uno de estos temas fascinantes justifican investigación adicional de su parte.