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Operaciones en funciones

Las funciones con dominios que se traslapan pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas y divididas. Si f ( x ) y g ( x ) son dos funciones, entonces para todas las x en el dominio de ambas funciones la suma, diferencia, producto y cociente están definidos como sigue.

      ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

      ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )

      ( fg )( x ) = f ( x ) × g ( x )

     

Ejemplo :

Digamos que f ( x ) = 2 x + 1 y g ( x ) = x 2 – 4. 

Encuentre ( f + g )( x ), ( f – g )( x ), ( fg )( x ) y .

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

          = (2 x + 1) + ( x 2 – 4)

          = x 2 + 2 x – 3

( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )

         = (2 x + 1) – ( x 2 – 4)

         = – x 2 + 2 x + 5

( fg )( x ) = f ( x ) × g ( x )    

     = (2 x + 1)( x 2 – 4)

     = 2 x 3 + x 2 – 8 x – 4 

Otra forma de combinar dos funciones para crear una nueva función es llamada la composición de funciones . En la composición de funciones sustituimos una función completa en otra función.

La notación de la función f con g es y se lee f de g de x . Significa que donde sea que haya una x en la función f , es reemplazada con la función g ( x ). El dominio de es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g ( x ) está en el dominio de f .

Ejemplo 1:

Digamos que f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x – 3. Encuentre f ( g ( x )).

Ejemplo 2:

Digamos que f ( x ) = 2 x – 1 y g ( x ) = x + 2. Encuentre f ( g ( x )).

El orden SI importa cuando encuentra la composición de funciones.

Ejemplo 3:

Digamos que f ( x ) = 3 x + 1 y g ( x ) = 2 x – 3. 

Encuentre f ( g ( x )) y g ( f ( x )).

Ya que 6 x – 8 ≠ 2 x – 1,    f ( g ( x )) ≠ g ( f ( x )).