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Multiplicación de matrices

Usted solo puede multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles , lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. Si A es una matriz a × b y B es una matriz b × c , el producto AB es una matriz a × c .

La definición de la multiplicación de matrices indica una multiplicación renglón-por-columna, donde las entradas en el renglón i th de A son multiplicadas por las entradas correspondientes en el renglón j th de B y luego se suman los resultados.

La multiplicación de matrices NO es conmutativa. Si ni A ni B son una matriz identidad, AB ≠ BA.

Multiplicando un renglón por una columna

Comencemos por mostrarle como se multiplica una matriz 1 × n por una matriz n × 1. La primera solo tiene un renglón, y la segunda es de una columna. Por la regla anterior, el producto es una matriz 1 × 1; en otras palabras, un número solo.

Primero, vamos a nombrar las entradas en el renglón como r 1 , r 2 , ..., r n , y las entradas en la columna como c 1 , c 2 , ..., c n . Luego el producto del renglón y de la columna es la matriz 1 × 1

[ r 1 c 1 + r 2 c 2 + ... + r n c n ].

Ejemplo:

Encuentre el producto.

Tenemos que multiplicar una matriz 1 × 3 por una matriz 3 × 1. El número de columnas en la primera es igual al número de renglones en la segunda, así son compatibles.

El producto es:

[(1)(2) + (4)(–1) + (0)(5)]

= [2 + (–4) + 0]

= [–2]

Multiplicando matrices más grandes

Ahora que ya sabe como multiplicar un renglón por una columna, multiplicar matrices más grandes es fácil. Para la entrada en el renglón i th y la columna j th de la matriz producto, multiplique cada entrada del renglón i th de la primera matriz por la entrada correspondiente en el renglón j th de la segunda matriz y sume los resultados.

Vamos a realizar el siguiente problema, multiplicar una matriz 2 × 3 con una matriz 3 × 2, para obtener una matriz 2 × 2 como el producto. Las entradas de la matriz producto son llamadas e ij cuando están en el renglón i th y en la columna j th .

Para obtener e 11 , multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.

Para obtener e 12 , multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.

Para obtener e 21 , multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.

Para obtener e 22 , multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.

Escribiendo la matriz producto, obtenemos:

Por lo tanto, hemos motrado que: