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Encontrando la ecuación de una parábola dado su foco y su directriz

Dado el foco y la directriz de una parábola , como encontramos la ecuación de la parábola?

Si consideramos solamente las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo, entonces la directriz será una recta horizontal de la forma y = c .

Digamos que ( a , b ) es el foco y digamos que y = c es la directriz. Digamos que ( x 0 , y 0 ) es cualquier punto en la parábola.

Cualquier punto, ( x 0 , y 0 ) en la parábola satisface la definición de parábola, así que hay dos distancias para calcular:

  1. Distancia entre el punto en la parábola al foco
  2. Distancia entre el punto en la parábola a la directriz

Para encontrar la ecuación de la parábola, iguale esas dos expresiones y resuelva para y 0 .

Encuentre la ecuación de la parábola en el ejemplo anterior.

Distance entre el punto ( x 0 , y 0 ) y ( a , b ):

Distance entre el punto ( x 0 , y 0 ) y la recta y = c :

(Aquí, la distancia entre el punto y la recta horizontal es la diferencia de sus coordenadas en y .)

Iguale las dos expresiones.

Eleve al cuadrado ambos lados.

Desarrolle la expresión en y 0 en ambos lados y simplifique.

Esta ecuación en ( x 0 , y 0 ) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con ( x , y ).

Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco ( a , b ) y directriz y = c es

Ejemplo :

Si el foco de una parábola es (2, 5) y la directriz es y = 3, encuentre la ecuación de la parábola.

Digamos que ( x 0 , y 0 ) es cualquier punto en la parábola. Encuentre la distancia entre ( x 0 , y 0 ) y el foco. Luego encuentre la distancia entre ( x 0 , y 0 ) y la directriz. Iguale estas dos ecuaciones de distancia y la ecuación simplificada en x 0 y y 0 es la ecuación de la parábola.

La distancia entre ( x 0 , y 0 ) y (2, 5) es

La distancia entre ( x 0 , y 0 ) y la directriz, y = 3 es

| y 0 – 3|.

Iguale las dos expresiones de distancia y eleve al cuadrado ambos lados.

Simplifique y coloque todos los términos en un lado:

Escriba la ecuación con y 0 en un lado:

Esta ecuación en ( x 0 , y 0 ) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con ( x , y ).

Así, la ecuación de la parábola con foco (2, 5) y directriz y = 3 es