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Encontrando el área de un triángulo usando la función seno

Usted esta familiarizado con la fórmula Math diagram para encontrar el área de un triángulo donde b es la longitud de una base del triángulo y h es la altura, o la longitud de la perpendicular a la base del vértice opuesto.

Suponga que el Math diagram tiene longitudes de lado a , b , y c . Digamos que h es la longitud de la perpendicular al lado de la longitud b del vértice B que conecta al lado Math diagram en D .

Math diagram

Entonces, el área R del triángulo ABC es Math diagram .

Ahora, observe el Math diagram . Es un triángulo rectángulo con hipotenusa Math diagram que tiene una longitud de c unidades.

Considere el seno de Math diagram .

Math diagram

Math diagram

Sustituyendo el valor de h en la fórmula para el área de un triángulo, obtiene

Math diagram

De forma similar, puede escribir fórmulas para el área en términos de sin C o sin B .

Math diagram

Ejemplo 1:

Encuentre el área de Math diagram .

Math diagram

Tiene las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. Así, puede usar la fórmula Math diagram donde p y r son las longitudes de los lados opuestos a los vértices P y R respectivamente.

Usando la fórmula del área, Math diagram .

Simplifique.

Math diagram

Por lo tanto, el área del Math diagram es alrededor de 3.44 cm cuadrados.

Ejemplo 2:

El área del Math diagram rectángulo con el ángulo recto en el vértice Y es de 39 unidades cuadradas. Si Math diagram y Math diagram , resuelva el triángulo.

Primero, dibuje una figura con las medidas dadas.

Math diagram

Use el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado del triángulo.

Math diagram

Ahora, Usted tiene las longitudes de los tres lados y el área del triángulo.

Sustituya en la fórmula del área.

Math diagram

Resuelva para Z .

Math diagram

Realice el inverso,

Math diagram

Esto es, Math diagram .

Dado que el ángulo en el vértice Y es un ángulo recto. Por lo tanto, Math diagram .

Usando el teorema de la suma de ángulos del triángulo , la medida del tercer ángulo es,

Math diagram

Por lo tanto, la medida de Math diagram es Math diagram .



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